Ответ
Момент случайной величины — это числовая характеристика её распределения, описывающая его форму, положение и разброс. Различают начальные и центральные моменты.
Начальный момент k-го порядка — математическое ожидание k-й степени случайной величины:
μₖ = E[Xᵏ]
- Первый начальный момент (k=1) — это среднее значение (математическое ожидание):
μ₁ = E[X].
Центральный момент k-го порядка — математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины от её среднего значения:
νₖ = E[(X - E[X])ᵏ]
- Второй центральный момент (k=2) — это дисперсия, мера разброса:
ν₂ = Var(X) = E[(X - E[X])²]. - Третий центральный момент используется для вычисления коэффициента асимметрии (скошенности распределения):
γ₁ = ν₃ / ν₂^(3/2). - Четвертый центральный момент используется для вычисления коэффициента эксцесса (остроты пика распределения):
γ₂ = ν₄ / ν₂² - 3.
Пример расчета на Python:
import numpy as np
# Генерируем выборку из нормального распределения
X = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=1000)
# Вычисляем моменты
mean = np.mean(X) # μ₁ - среднее
variance = np.var(X) # ν₂ - дисперсия
skewness = (np.mean((X - mean)**3)) / (variance**1.5) # Коэффициент асимметрии
kurtosis = (np.mean((X - mean)**4)) / (variance**2) - 3 # Коэффициент эксцесса
print(f"Среднее (μ₁): {mean:.3f}")
print(f"Дисперсия (ν₂): {variance:.3f}")
print(f"Асимметрия: {skewness:.3f}")
print(f"Эксцесс: {kurtosis:.3f}")