Нужно ли обрабатывать исключение, если метод объявлен с throws?

Нет, обработка не обязательна, но исключение должно быть объявлено. Ключевое слово throws в сигнатуре метода указывает, что метод может сгенерировать проверяемое (checked) исключение и не обрабатывает его внутри.

Ваши варианты:

1. Пробросить дальше: Объявить это же исключение в вызывающем методе.

   void caller() throws IOException {
       callee(); // Метод с throws IOException
   }

2. Обработать на месте: Использовать try-catch в вызывающем методе.

   void caller() {
       try {
           callee();
       } catch (IOException e) {
           // Обработка
       }
   }

Для непроверяемых исключений (RuntimeException) использование throws не требуется и носит лишь документационный характер.