Ответ
Выборочный максимум является смещённой оценкой для теоретического максимума генеральной совокупности.
Почему?
В выборке максимальное значение обычно меньше истинного максимума генеральной совокупности, особенно при малом объёме выборки. С ростом выборки смещение уменьшается, но не исчезает полностью.
Пример:
Пусть ( X sim U[0, theta] ). Тогда ( hat{theta} = max(X_1, dots, X_n) ) — смещённая оценка, так как:
[ E[hat{theta}] = frac{n}{n+1}theta < theta ]
Как исправить?
Можно использовать несмещённую оценку: ( hat{theta}_{text{unbiased}} = frac{n+1}{n}max(X_1, dots, X_n) ).
