Нужен ли Java SDK для запуска кода

Да, Java SDK (JDK) необходим для компиляции и запуска Java-кода. Android Studio поставляется со встроенным OpenJDK, но можно использовать и сторонние JDK (например, Oracle JDK). Для Kotlin также требуется JDK, так как Kotlin компилируется в байт-код JVM.

Пример настройки в build.gradle:

android {
    compileOptions {
        sourceCompatibility JavaVersion.VERSION_11
        targetCompatibility JavaVersion.VERSION_11
    }
    kotlinOptions {
        jvmTarget = "11"
    }
}

Без JDK сборка проекта невозможна, но для работы с уже скомпилированным APK (например, на устройстве) он не требуется.