Уйдут ли cookie при загрузке картинок с другого домена

Да, cookie не уйдут при загрузке картинок с другого домена. Браузеры автоматически не отправляют cookie при запросах к сторонним доменам, если явно не указано иное.

Однако, если нужно передать cookie (например, для аутентификации), можно использовать атрибут crossorigin="use-credentials" у тега <img> и настроить CORS на сервере с Access-Control-Allow-Credentials: true и Access-Control-Allow-Origin с конкретным доменом (не *).

Пример:

<img src="https://example.com/image.jpg" crossorigin="use-credentials">