Что такое алгоритмическая сложность и как она оценивается?

Алгоритмическая сложность — это мера ресурсов (времени или памяти), необходимых алгоритму для выполнения своей задачи в зависимости от размера входных данных. Чаще всего под алгоритмической сложностью подразумевают временную сложность, которая оценивает количество операций, выполняемых алгоритмом.

Почему это важно?

Анализ алгоритмической сложности позволяет предсказывать производительность алгоритма при масштабировании входных данных, сравнивать эффективность различных подходов к решению одной и той же задачи и выбирать наиболее оптимальный алгоритм для конкретных условий. Это критически важно для разработки высокопроизводительных и масштабируемых систем.

Оценка сложности:

Сложность обычно выражается с помощью нотации "О-большое" (Big O notation), которая описывает асимптотическое поведение алгоритма, то есть его производительность при очень больших входных данных. Она показывает наихудший сценарий выполнения.

Основные классы временной сложности:

• O(1) — Константная: Время выполнения не зависит от размера входных данных. Пример: доступ к элементу массива по индексу.
• O(log n) — Логарифмическая: Время выполнения растет очень медленно с увеличением размера данных. Пример: бинарный поиск в отсортированном массиве.
• O(n) — Линейная: Время выполнения прямо пропорционально размеру входных данных. Пример: поиск элемента в неотсортированном массиве.
• O(n log n) — Линейно-логарифмическая: Часто встречается в эффективных алгоритмах сортировки. Пример: быстрая сортировка (Quicksort), сортировка слиянием (Merge Sort).
• O(n²) — Квадратичная: Время выполнения растет как квадрат размера входных данных. Пример: пузырьковая сортировка (Bubble Sort), вложенные циклы.
• O(2^n) — Экспоненциальная: Время выполнения растет очень быстро, характерно для задач полного перебора. Пример: некоторые рекурсивные решения, задача коммивояжера (наивный подход).

Примеры на Python:

# O(n) — Линейный поиск
def linear_search(arr: list, target: int) -> bool:
    """Ищет элемент в списке, проходя по каждому элементу."""
    for item in arr:
        if item == target:
            return True
    return False

# O(log n) — Бинарный поиск (требует отсортированный массив)
def binary_search(arr: list, target: int) -> bool:
    """Ищет элемент в отсортированном списке, деля его пополам."""
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return True
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return False

# O(n^2) — Пример с вложенными циклами
def find_pairs(arr: list) -> list:
    """Находит все уникальные пары в списке."""
    pairs = []
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i + 1, len(arr)):
            pairs.append((arr[i], arr[j]))
    return pairs

Помимо временной сложности, также существует пространственная сложность, которая оценивает объем памяти, используемый алгоритмом.