Как оценивается сложность алгоритмов?

Оценка сложности алгоритмов позволяет предсказать их производительность (время выполнения и потребление памяти) в зависимости от размера входных данных. Основным инструментом для этого является Big-O нотация, которая описывает верхнюю границу роста функции в худшем случае.

Методы оценки:

1. Анализ количества операций: Подсчёт элементарных операций (сравнения, присваивания, арифметические действия) в алгоритме как функции от размера входных данных n. Это даёт точное представление, но может быть трудоёмким.
2. Асимптотический анализ: Фокусируется на поведении алгоритма при очень больших n, игнорируя константы и члены низшего порядка. Это позволяет абстрагироваться от деталей реализации и аппаратного обеспечения, концентрируясь на масштабируемости.

Основные классы сложности (Big-O):

• O(1) – Константная: Время выполнения не зависит от n (например, доступ к элементу массива по индексу).
• O(log n) – Логарифмическая: Время выполнения растёт медленно с n (например, бинарный поиск).
• O(n) – Линейная: Время выполнения прямо пропорционально n (например, простой перебор элементов списка).
• O(n log n) – Линейно-логарифмическая: Часто встречается в эффективных алгоритмах сортировки (например, Merge Sort, Quick Sort).
• O(n²) – Квадратичная: Время выполнения растёт как квадрат n (например, вложенные циклы, сортировка пузырьком).
• O(2^n) – Экспоненциальная: Очень медленный рост, часто указывает на неэффективные решения (например, рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи без мемоизации).

Примеры кода:

# O(n) – Линейная сложность (поиск элемента)
def linear_search(arr, target):
    for item in arr:  # n итераций в худшем случае
        if item == target:
            return True
    return False

# O(n²) – Квадратичная сложность (сортировка пузырьком)
def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):          # n проходов
        for j in range(n - 1):  # n-1 сравнений/обменов за проход
            if arr[j] > arr[j + 1]:
                arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
    return arr

Хотя Big-O (худший случай) является основным инструментом, также используются Ω (Omega, лучший случай) и Θ (Theta, средний случай) для более полного анализа производительности алгоритма.